Adagrad、RMSprop、Momentum and Adam -- 特殊的學習率調整方式
- 本文內容節錄自Hung-yi Lee , Machine Learning(2017) 課程內容 : Gradient Descent、Tips for training DNN
- 本文圖片均來自於課程講義內容
在深度學習中，我們進行優化的方式大多使用的是 Gradient Descent，其一般化的形式
矩陣型態 : \(\boldsymbol{W}^{t+1}\leftarrow\boldsymbol{W}^t-\eta\cdot\nabla L(\boldsymbol{W}^t)\)
我們也可以單看其中一個分量權重 : \(w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t-\eta\cdot\frac{\partial L}{\partial w_i}\)
我們曾經在 Gradient descent 梯度下降 一文中有討論過，若 \(\eta\) ( 學習率 )固定時，太大太小都可能讓我們在優化的過程中遇到困難，最好的方式就是讓 \(\eta\) 隨著優化的過程逐漸地減少。1
Adagrad --- 彈性使用 Learning Rate
\(\eta\) 應該怎麼設 ? 跟次數成反比的 \(\frac{1}{t}\) decay 是最簡單的方式 \(\eta^t=\frac{\eta}{\sqrt{t+1}}\) ，但這顯然太過簡單。
Adagrad 所使用的 \(\eta^t=\displaystyle{\frac{\eta}{\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{t}(\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W}^n))^2+\epsilon}}}\) ( 此處的 \(\epsilon\) 旨在不讓分母為 0 的情況產生，一般 \(\epsilon=\) 10e-8 )
我們稍微調整一下，Adagrad 的參數優化方式可以這樣寫 :
\(w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t-\displaystyle{\frac{\eta}{\sigma^t}}g^t\) , whare \(g^t=\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W^t})\) and \(\sigma^t=\sqrt{\sum\limits_{n=1}^{t}(\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W}^n))^2+\epsilon}\)
參數建議 \(\eta=0.01\)
白話一點來說，\(g^t\) 代表的是第 \(t\) 次的梯度更新值，而 \(\sigma^2\) 則代表的是第 \(t\) 次以前的所有梯度更新值之平方和開根號。
Adagrad 的矛盾 ?
上式中 \(g^t\) 清楚地描繪了「當斜率越大，就必須要跨越大步」的這一個事實，但也別忽略了分母的 \(\sigma^2\) 卻會造成相反的結論。
要了解這一個狀況是否會產生矛盾，我們要從斜率 (一次微分) 與跨多大步的關係來看 :
假定 Loss function 為一個二次函數，現有一點 \(x_0\)，從基本數學來看，最好的一步便是 \(\mid x_0+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\mid\) 。從這裡我們可以看出來，當一次微分值越大，表示 \(x_0\) 距離最低點越遙遠，要跨得步伐便越大。
然而事情並沒有想像的這麼簡單，倘若在一個高維度空間下，光看一次微分是無法進行跨維度、跨參數的比較
上圖中的 a 與 c 單從一次微分來看，無法進行比較。
從上上一張圖片中，我們其實忽略了 \(\mid x_0+\displaystyle{\frac{b}{2a}}\mid=\displaystyle{\frac{\mid 2ax_0+b\mid}{2a}}\) 式中分母 \(2a\) 其實就是 Loss function 的二次微分值，在單一維度中，這個常數項或許可以被忽略，但要進行跨參數的比較時，這樣一個數值便不可忽略。
倘若加入這一個分母進行討論，上圖 a 與 c 就可以進行比較了。
但在 Adagrad 中，為了不增加計算的負擔，我們更進一步的採用一次微分值來對二次微分值進行推估，不僅能達到相同的效果，也不用再一次計算二次微分值。
Adagrad 的優缺點
優點
- 當 \(t\) 持續增加，\(\sigma\) 項會約束梯度，也就是說，Adagrad 可以自動調整 learning rate 直至收斂。
- 適合處理稀疏梯度
缺點
- 當後期 \(\sigma^t\) 值很大的時候，整個梯度會被約束到趨近於 0 ，導致訓練提前結束。
- 仍然需要先設置一個全局學習率 \(\eta\)，且其大小仍然會影響訓練的過程。
RMSprop --- 處理複雜 error surface
然而，我們現實中常會碰到的 Loss function 並非都是平穩、簡單的，甚至絕大多數我們遇到的 Error surface 都非常複雜。
如上圖，即使在同一個維度上，學習率都有可能必須要能夠快速的反應、變動，因此 Hinton 提出了一個新的優化方式 : RMSprop
RMSprop 在 學習率調整上面多了一個參數 \(\alpha\) ，可以在新舊梯度上面做調節
\(w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t-\displaystyle{\frac{\eta}{\sigma^t}}g^t\) , whare \(g^t=\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W^t})\) and \(\sigma^t=\sqrt{\alpha(\sigma^{t-1})^2+(1-\alpha)(g^t)^2+\epsilon}\)
參數建議 \(\eta=0.001\) , \(\alpha=0.9\)
若 \(\alpha\) 上調，便對於舊的梯度有更大的佔比，也就是說在整個調節的過程中較傾向相信舊梯度帶給我們的資訊。
RMSprop 的優缺點
優點
- 有效改善 Adagrad 提前結束訓練的問題。
- 適合處理複雜的、non-convex 的 error surface。
缺點
- 仍然需要先設置一個全局學習率 \(\eta\)
Momentum --- 跳脫出 Local minimum 的困境
在 Gradient Descent based algorithm 中，很容易會進入 Local minimum 中而跳脫不出來，雖然說有學者認為 Local minimum 在複雜多維度的 error space 中並不會這麼容易遇到，但 Momentum 或許也能為這個問題找出一個合適的處理方式。
Momentum 是利用物理學中動量的概念來進行梯度更新 ( \(\lambda\) 為動量因子 )
\(v^0=0\) \(w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t+v^t\) , where \(v^t=\lambda\cdot v^{t-1}-\eta\cdot g^t\) , and \(g^t=\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W^t})\)
參數建議 \(\lambda=0.9\)
(註 : 此圖中的 \(\theta^t\) 即本文中 \(\boldsymbol{W}^t\))
這樣的梯度更新包含了前次梯度的量值，也是在某種程度上面保留了原本的動能，如果遇到 local minimum 便有機會可以跳脫出來。
Momentum 的優缺點
優點
- 當梯度更新時，\(\lambda\cdot v^t\) 這項有助於減緩更新，可以抑制震盪，加快收斂。
- 在初期，我們可以藉由較大的 \(\lambda\) 來對整個訓練加速
- 中後期由於梯度逐漸下降，因為我們有 \(\lambda\cdot v^t\) 這項，可以使得擺動幅度加大，有助於跳脫出 Local minimum
缺點
- \(\lambda\) 、\(\eta\) 固定無法隨時調整
Adam --- 常用的 optimizer
Adaptive Moment Estimation ( Adam ) 其實就是加入了動量概念的 RMSprop，且在更新梯度過程中考慮了偏差校正 ( bias-correction )
\(m^0=v^0=0\)
\(w_i^{t+1}\leftarrow w_i^t-\eta\cdot\displaystyle{\frac{\hat{m}^t}{\sqrt{\hat{v}^t}+\epsilon}}\)
where \(m^{t+1}=\beta_1\cdot m^{t}+(1-\beta_1)\cdot g^t\) , and \(v^{t+1}=\beta_2\cdot v^{t}+(1-\beta_2)\cdot (g^t)^2\)
and \(\hat{m}^t=\displaystyle{\frac{m^t}{1-\beta_1}}\) , \(\hat{v}^t=\displaystyle{\frac{v^t}{1-\beta_2}}\) , \(g^t=\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial w_i}}(\boldsymbol{W^t})\)
參數建議 \(\beta=0.9\) , \(\beta_2=0.999\)
上面的式子看起來有點恐怖，但其實仔細跟 RMSprop 比較一下，不管從更新方向或是更新步伐都帶入了 RMSprop 新舊權衡的概念，而其中參數 \(\beta_1\) 及 \(\beta_2\) 可以視為每一次更新後方向及不乏上的衰減率。
比較值得注意的是參數更新的部分是藉由 \(\hat{m}^t\) / \(\hat{v}^t\) 而非 \(m^t\) / \(v^t\) 來進行更新，\(\hat{m}^t\) / \(\hat{v}^t\) 可以視為是對 \(m^t\) / \(v^t\) 的偏差校正。
Adam 的優缺點
優點
- 結合了 Adagrad、RMSprop 及 Momentum 的優點
- 對內存的需求小
- 對所有不同的參數都有新舊之間的權衡調節
- 各種狀況均適用，是目前較為推薦的優化方式。
參考內容
- Hung-yi Lee , Machine Learning(2017) : Gradient Descent、Tips for training DNN
- 深度学习最全优化方法总结比较（SGD，Adagrad，Adadelta，Adam，Adamax，Nadam）
- 深度学习——优化器算法Optimizer详解（BGD、SGD、MBGD、Momentum、NAG、Adagrad、Adadelta、RMSprop、Adam）
- 深度学习笔记：优化方法总结(BGD,SGD,Momentum,AdaGrad,RMSProp,Adam)
在 Keras 裡面 ，當我們要進行 model compile 時，需要設置一個 optimizer 參數，系統內提供了許多的優化器可供使用 : RMSprop、SGD、Adagrad、....，這些都是基於 Gradient Descent 之上，但在學習率上面進行不同的設置。↩︎